误差的概念&分类

测量(绝对)误差=测量结果-真值 $ (\delta =x-a)$，测量结果即由测量所得到的赋予被测量的值。 理论真值只存在于纯理论中。

误差分为绝对误差，相对误差和引用误差。关系如下：

γ(相对误差)=δ(绝对误差)a(真值)(相对误差无量纲，用%表示)\gamma \text{(相对误差)}=\frac{\delta\text{(绝对误差)}}{a\text{(真值)}}\quad\text{(相对误差无量纲，用\%表示)}

*绝对误差(数值分析)

设某个量的精确值为x,其近似值为x∗x^* ,则称E(x)=x−x∗E(x) = x − x^*，为近似值x∗x^* 的绝对误差,简称误差。若存在η>0\eta>0，使∣E(x)∣=∣x−x∗∣≤η((绝对)误差限/精度)|E(x)| = |x − x^*|\le \eta\text{\color{teal}((绝对)误差限/精度)} ，则称之为绝对误差限，η\eta越小则精度越高。

近似值x∗x^*的相对误差是绝对误差与精确值(近似值)之比,即

Er(x)=E(x)x=x−x∗x→x一般无法知道Er∗(x)=E(x)x∗=x−x∗x∗E_r(x)=\frac{E(x)}{x}=\frac{x-x^*}{x}\xrightarrow{\text{\color{teal}x一般无法知道}}E_r^*(x)=\frac{E(x)}{x^*}=\frac{x-x^*}{x^*}

若存在δ>0\delta>0，使∣Er(x)∣=∣x−x∗x∗∣≤δ(相对误差限)|E_r(x)| = |\frac{x − x^*}{x^*}|\le \delta\text{\color{teal}(相对误差限)} 则称之为相对误差限。

直接测量

指被测量与该标准量直接进行比较的测量,该测量结果可以直接由测量仪器输出得到,而不再需要经过量值的变换与计算。

Y(输出量)=X(输入量/测量值)(直接测量)Y\text{(输出量)}=X\text{(输入量/测量值)}\tag{直接测量}

间接测量

指通过直接测量与被测量有函数关系的量,通过函数关系求得被测量值的测量方法。

Y=f(x1,x2,⋯ ,xn)(间接测量)Y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\tag{间接测量}

静态测量

指在测量过程中被测量可以认为是固定不变的。因此,不需要考虑时间因素对测量的影响。

动态测量

指被测量量在测量期间随时间(或其他因素)发生变化。

误差的分类

随机误差

随机误差是试验过程中由一系列随机因素引起的不易控制的误差，可以通过多次重复试验或改进模型设计来减小随机误差。随机误差可能来自物理量本身的波动，比如测量风速，就是在测量一个随时变化的物理量，不可避免地受到随机误差影响。随机误差可能来自不可控制的随机因素影响，比如，在用雷达测量飞机 的方位和速度时，可能受到地磁、气温、地形的影响。测量仪器精度的限制也会产生随机误差。

随机误差的最主要特征是具有随机性,没有确定的规律。但像其它随机变量一样,对无限次测量,随机误差服从统计规律。

系统误差

系统误差是多次测量持续偏高或偏低的误差，而且条件改变时，按照一定规律变化。多次重复测量不能消除或减少系统误差。系统误差可能来自测量装置本身的误差，比如游标卡尺没有安装好。也可能受环境因素的影响比如用不锈钢直尺测量家具高度，直尺本身在温度不同时长度有细微变化。系统误差也可能来自测量方法的因素，比如用天平测量质量时天平没有配准。在记录实验数据时由于测量人员的过失可以导致误差发生。当发现有系统误差时，必须找出引起误差的原因并消除。

系统误差的处理方法：

  1. 从产生误差根源上消除系统误差。
  2. 利用加修正值的方法。
  3. 选择适当的测量方法

*数值误差

数值误差是用电子计算机进行数据存储和计算时产生的误差，

  • 截断误差，舍入误差，模型误差，观测误差。

近似数的修约与运算

修约规则

  • 四舍 3.14˙→3.13.1\dot4\rightarrow 3.1
  • 六入 3.1415926˙→3.1415933.141592\dot6\rightarrow3.141593
  • 五成双 3.1415˙9˙→3.1423.141˙5˙09→3.1423.1415926˙5˙09→3.14159273.141\dot 5\dot 9\rightarrow 3.142\quad 3.14\dot 1\dot 509\rightarrow 3.142 \quad 3.141592\dot 6\dot 509\rightarrow 3.1415927
  • 修约必须一次完成，不能连续修约。
    • 数字取舍恰好在合格边界时用(+ −)(+\ -)补充表示：1.29→1.3(−)1.32→1.3(+)1.29\rightarrow1.3(-)\quad 1.32\rightarrow1.3(+)

有效数字

定义：修约后从左边开始第一个非零数字到末位上的所有数字

严格定义：若近似值 $X^* $ 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其精确到这一位，且从该位直到 $X^* $ 的第一位非零数字共有n位，则称近似值 X∗X^* 有n位有效数字。

关于00的说明

  1. 既可能是有效数字，也可能是无效数字

    Ψ:0.001(1)0.2010(3)\quad {\color{teal}\varPsi}:0.001(1)\quad 0.2010(3)

  2. 最后的零体现了近似数的误差，不能随意取舍

    Ψ:0.999˙6→1.000˙\quad {\color{teal}\varPsi}:0.99\dot 96\rightarrow 1.00\dot 0

近似数的加减运算：几个(不超过10个)近似数相加或相减时,小数位数较多的近似数,只须比小数位数最少的那个数多保留1位。

近似数的乘除运算：在几个近似数相乘或相除时,有效数字较多的近似数,只须比有效数字最少的那个多保留1位,其余均舍去。

近似数的乘方开方运算：乘方或者开方时,计算结果应保留的有效数字与原来近似数的有效数字的位数相同。

*有效数字与绝对误差、相对误差

定义：若近似值x∗x^*的绝对误差限是某一位的半个单位,就称其精确到这一位,且从该位直到x∗x^*的第一位非零数字共有n位,则称近似值x∗x^*有n位有效数字。

因为任何一个实数x经四舍五入后得到的近似值x∗x^*都可写成：

x∗=±(a1×10−1+a2×10−2+⋯+an×10−n)×10m(1)\color{teal} x^*=\pm(a_1\times10^{-1}+a_2\times10^{-2}+\cdots+a_n\times10^{-n})\times10^{m} \tag{1}

其中n为有效数字位数，m为科学记数法中10的指数。

∣E(x)∣=∣x−x∗∣≤12×10m−n+1(绝对误差限)|E(x)| = |x − x^*|\le\frac{1}{2}\times10^{m-n+1}\tag{绝对误差限}

Er∗(x)=≤12(a1+1)×10−(n−1)(相对误差限)E_r^*(x)=\le \frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-(n-1)} \tag{相对误差限}

有限数字位数越多，相对误差限越小。

要使20\sqrt{20}的有效位数小于0.1%，应取几位有效数字？

20=4.4→a1=4n=4\sqrt{20}=4.4 \to a_1=4\quad n=4

例题

  1. 计算球体积要使相对误差限为1%1\%，问：度量半径RR 所允许的相对误差限是多少

    解：

    ∵Er(x)=x−x∗x∗=dVV=1% V=4πR33 ∴dV=4πR2dR dVV=3RdR dRR=13⋅dVV=0.333%\because E_r(x) = \frac{x-x^*}{x^*}=\frac{dV}{V}=1\%\\ \ \\ V=\frac{4\pi R^3}{3} \\ \ \\ \therefore dV=4\pi R^2 dR \\ \ \\ \frac{dV}{V}=\frac{3}{R}dR \\ \ \\ \frac{dR}{R}=\frac{1}{3}\cdot\frac{dV}{V}=0.333\% \\

2.写出下列经过四舍五入得到的近似数的有效数字和误差限：

  • x1∗=1.1021˙=1.1021˙×100x_1^*=1.102\dot1=1.102\dot1\times 10^{0}

    ∵n1=5; m1=0∴∣e1∗∣≤12×10−4\because n_1=5;\ m_1=0\\ \therefore |e_1^{*}|\le \frac{1}{2} \times 10^{-4} \\

  • x2∗=56.43˙0=5.643˙0×10−1x_2^*=56.4\dot30=5.64\dot30\times 10^{-1}

∵n2=4; m2=1∴∣e2∗∣≤12×10−2\because n_2=4;\ m_2=1\\\\ \therefore |e_2^{*}|\le \frac{1}{2} \times 10^{-2}

*数值运算的误差估计

两个近似数，其误差限分别为，则其运算规则为：(与导数运算相似)

ε(x1∗±x2∗)=ε(x1∗)+ε(x2∗)\varepsilon(x_1^*\pm x_2^*)=\varepsilon(x_1^*)+\varepsilon(x_2^*)

ε(x1∗⋅x2∗)=ε(x1∗)∣x2∣+ε(x2∗)∣x1∣\varepsilon(x_1^*\cdot x_2^*)=\varepsilon(x_1^*)|x_2|+\varepsilon(x_2^*)|x_1|

ε(x1∗x2∗)=∣x1∣ε(x2∗)−∣x2∣ε(x1∗)ε(x2∗)2\varepsilon(\frac{x_1^*}{x_2^*})=\frac{|x_1|\varepsilon(x_2^*)-|x_2|\varepsilon(x_1^*)}{\varepsilon(x_2^*)^2}

函数的误差限用泰勒展开式计算：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+...+1n!fn(x0)(x−x0)nf(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_0)^n

ε(f(x∗))=f(x∗)+f′(x∗)(x−x∗)+...+1n!fn(x∗)(x−x∗)nε(f(x^*))=f(x^*)+f^{'}(x^*)(x-x^*)+...+\frac{1}{n!}f^{n}(x^*)(x-x^*)^n

ε(f(x∗))=∣f′(x∗)∣ε(x∗)二三阶导数相差不大时\varepsilon(f(x^*))=|f^{'}(x^*)|\varepsilon(x^*)\quad \text{二三阶导数相差不大时}

多元函数的相对误差限：

e(A∗)=A∗−A=fleft(x1∗ts,x⋯ ,xn∗)−f(x1,⋯ ,xn)≈∑k−1n(∂f(x1∗,n∗)∂xk)(xk∗−xk)=∑k=1n(∂fxk)∗ek=∗\begin{aligned} e (A^{*} ) &=A^{*}-A=f^left(x_{1}^{*ts}, x \cdots, x_{n}^{*} )-f (x_{1}, \cdots, x_{n} ) \\& \approx \sum_{k-1}^{n} (\frac{\partial f (x_{1}{*},_{n}^{*} )}{\partial x_{k}} ) (x_{k}^{*}-x_{k} ) \\&=\sum_{k=1}^{}n (\frac{\partial f}{ x_{k}} )^{*} e_{k=}^{*} \end{aligned}

随机误差的处理原则

算数平均值原理

在等权测量条件下,对某被测量进行多次重复测量,得到一系列测量值x1,x2,⋯xnx_1,x_2,\cdots x_n，常取算术平均值

xˉ=1n∑i=1nxi→n→∞x0(平均值)\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \xrightarrow{\color{blue} n \to \infty}x_0\tag{平均值}

作为测量结果的最佳估计。若测量次数无限增多,且无系统误差下,由概率论的大数定律知,算术平均值无限趋近于真值。

标准偏差

当测量次数较多时，使用偏差(Standard Deviation, s\ \mathit{s})或相对标准偏差(Relativestandard Deviation,RSD, sr\ \mathit{s}_r )来表示一组平行测定值的精密度。单次测定的标准偏差的表达式是

s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−12(标注差)s= \sqrt[2]{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}\tag{标注差}

  • 平均值的标准偏差：当测量次数在20(N)次以内时，可以用δxˉ=Sxˉ=±sN\delta_{\bar{x}}={\color{red}S_{\bar{x}}}=\pm\frac{s}{\sqrt{N}}来表示，

  • 平均值的置信区间：

    ±t=(xˉ−μ)Ns⟹μ=xˉ±tsN(真值)\pm t=(\bar{x}-\mu)\frac{\sqrt{N}}{s}\Longrightarrow\mu=\bar{x}\pm\frac{ts}{\sqrt{N}} \tag{真值}

最小二乘法

是对线性方程组，即方程个数比未知数更多的方程组，以回归分析求得近似解的标准方法。

b1=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2b_1=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}