数学模型

参考：

  1. 控制系统的数学模型
  2. 线性系统状态空间描述与运动分析
  3. 线性系统结构图

系统的数学模型

建立数学模型的方法

解析法建模

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律列写出相应的数学关系式，建立模型。

  • 电学：基尔霍夫定律

    • 电流定律 所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。
    • 电压定律 沿着闭合回路所有元件两端的电势差(电压)的代数和等于零。
    • 主要是输入与输出的电压关系

  • 力学：牛顿定律

    • 第一定律 存在某些参考系,在其中,不受外力的物体都保持静止或匀速直线运动。

    • 第二定律 施加于物体的合外力等于此物体的质量与加速度的乘积。

    • 第三定律 当两个物体互相作用时,彼此施加于对方的力,其大小相等、方向相反。

    • 一般而言，这类系统都是输入一个位移，经过系统（阻尼 弹簧 物块）后输出一个位移，

      根据位移与受力的关系，很简单的就可以列出关系式，但如果输入与输出中间有空隙，则在空隙中假设一个环节

  • 热力学：热力学定律

    • 第零定律 若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态,此两个系统也必互相处于热平衡。
    • 第一定律 物体内能的增加等于物体吸收的热量和对物体所作的功的总和.(系统经过绝热循环,其所做的功为零。
    • 第二定律 孤立系统自发地朝着热力学平衡方向──最大熵状态──演化。
    • 第三定律 热力学系统的熵在温度趋近于绝对零度时趋于定值,特别地,对于完整晶体,这个定值为零

试验法建模（黑箱建模）

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。

  • 系统辨识 给系统添加测试信号,记录输出响应,使用数学模型逼近。
  • 神经网络 训练网络权值,最小化输出的最小二乘误差。神经网络建模可看做系统辨识的特例。

数学模型的定义

  1. 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

  2. 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。

    对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。

数学模型的类型

  1. 时间域：微分方程；差分方程；状态方程。

  2. 复数域：传递函数；结构图。

  3. 频率域：频率特性。

控制系统的微分方程

线性定常系统微分方程的形式：

andnc(t)dtn+an−1dn−1c(t)dtn−1+⋯+a1dc(t)dt+a0c(t)=bmdmr(t)dtm+bm−1dm−1r(t)dtm−1+⋯+b1dr(t)dt+b0r(t)\begin{aligned} & a_{n} \frac{d^{n} c(t)}{d t^{n}}+a_{n-1} \frac{d^{n-1} c(t)}{d t^{n-1}}+\cdots+a_{1} \frac{d c(t)}{d t}+a_{0} c(t) \\ =& b_{m} \frac{d^{m} r(t)}{d t^{m}}+b_{m-1} \frac{d^{m-1} r(t)}{d t^{m-1}}+\cdots+b_{1} \frac{d r(t)}{d t}+b_{0} r(t) \end{aligned}

  • 建立微分方程的一般步骤
  1. 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。
  2. 根据物理或化学定律，列出微分方程。
  3. 消去中间变量后得到描述输出量与输入量 (包括扰动量) 关系的微分方程
  4. 整理成标准形式(右端输入，左端输出，导数降幂排列)。

例题一

  1. 系统输入输出：输入：u(t)u(t)，输出：qq

  2. 列出方程：

u=L(电感)didt+R(电阻)i+1C(电容)∫idtu=L(\text{电感})\frac{di}{dt}+R(\text{电阻})i+\frac{1}{C}(\text{电容})\int idt

Q=it→i=dqdtQ=it→ i=\frac{dq}{dt}

  1. 最终整理：Lq′′+Rq′+1Cq=uLq^{''}+Rq^{'}+\frac{1}{C}q=u

例题二

  1. 找输入输出：

input:u1,output:u2(C2 ′s twoside)input:u_1,\quad output:u_2(C_2 \ 's\ twoside)\\

  1. 列方程：

u1=i1R1+1C∫(i1−i2)dti2R2+u2=1C∫(i1−i2)dtu2=1C∫i2dt \begin{aligned} u_1&=i_1R_1+\frac{1}{C}\int(i_1-i_2)dt\\ i_2R_2+ u_2&=\frac{1}{C}\int(i_1-i_2)dt \\ u_2&=\frac{1}{C}\int i_2 dt\\ \end{aligned}

  1. 消去中间变量(i1,i2i_1,i_2):

i1R1+i2R2+1C∫i2dt=u1i2C2=du2dt→i2=C2⋅du2dti_1R_1+i_2R_2+\frac{1}{C}\int i_2dt=u_1\\ \frac{i_2}{C_2}=\frac{du_2}{dt}→i_2=C_2\cdot\frac{du_2}{dt}\\

  1. 进行拉氏变换(求传递函数)

    R1I1+I1−I2C1s=U1R2I2+I2C2s=I1−I2C1sI2C2s=U2消除中间变量可得:G(s)=1R1C1R2C2s2+(R1C1+R2C2+R1C2)s+1\begin{aligned} R_1I_1+\frac{I_1-I_2}{C_1s}&=U_1\\ R_2I_2+\frac{I_2}{C_2s}&=\frac{I_1-I_2}{C_1s}\\ \frac{I_2}{C_2s}&=U_2\\ \text{消除中间变量可得:}\\ G(s)&=\frac{1}{R_1C_1R_2C_2s^2+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)s+1} \end{aligned}

非线性模型的线性化

高数里面只讲过线性齐次与非齐次，高阶与低阶方程的解法，非线性的未有耳闻。先复习一下：

线性： y¨+y˙=r¨+r˙\ddot y+ \dot y=\ddot r + \dot r

非线性： yy¨+y˙=r¨+r˙y\ddot y+ \dot y=\ddot r + \dot r（最高阶次为一阶）

转换要点：在给定工作点附近将非线性模型展开为泰勒级数

y=f(x)=f(x0)+dfdx∣x=x0(x−x0)+12d2fdx2∣x=x0(x−x0)2+⋯y=f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left.\frac{d f}{d x}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+\left.\frac{1}{2} \frac{d^{2} f}{d x^{2}}\right|_{x=x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots

省略掉高阶项后（与隐函数求导时，假设函数表达式时的形式相似），得到线性化方程如下:

y=y0+K(x−x0)\color{red} y=y_0+K(x-x_0)

拉普拉斯变换

作用：可将一个有实数变量t(t>0)t(t>0)的函数f(x)f(x)变换为一个变量为复数的F(s)F(s)函数

F(s)=L{f(t)}=∫0+∞f(t)e−stdt(1.3)F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \tag{1.3}

看起来跟概率论里的特征函数很相似啊

  1. 微分定理

    L{dnf(t)dtn}=snF(S)\color{red}\mathcal{L}\{\frac{d^nf(t)}{dt^n}\}=s^nF(S)

  2. 积分定理

    L{∫⋯∫f(t)(dt)n}=1snF(S)\color{red}\mathcal{L}\{\int\cdots \int f(t)(dt)^n\}=\frac{1}{s^n}F(S)

  3. 延迟定理

    L{f(t−τ)}=e−sτF(s)\mathcal{L}\{f(t-\tau )\}=e^{-s\tau}F(s)

  4. 初值定理

    f(0+)=lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)f(0^+)=\lim_{t\to0^+}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s)

  5. 终值定理

    lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}sF(s)

  6. 卷积定理

    L{∫0tf1(t−τ)f2(τ)dτ}=F1(s)⋅F2(s)\mathcal{L}\{\int_0^tf_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau \}= F_1(s)\cdot F_2(s)

拉普拉斯反变换的部分分式法及其应用

  1. F(s)只有不相同的极点

    F(s)=B(s)A(s)=a1s+p1+a2s+p2+⋯+ans+pnF(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{a_1}{s+p_1}+\frac{a_2}{s+p_2}+\cdots+\frac{a_n}{s+p_n}

    ∵an=[B(s)A(s)(s+pk)]s=−pkake−pkt=L−1{ans+pn}\begin{aligned} \because a_n &=[\frac{B(s)}{A(s)}(s+p_k)]_{\color{green}s=-p_k} \\ a_ke^{-p_kt}&=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{a_n}{s+p_n}\} \end{aligned}

    ∴f(t)=a1e−p1t+a2e−p2t+⋯+ake−pkt\therefore f(t)=a_1e^{-p_1t}+a_2e^{-p_2t}+\cdots+a_ke^{-p_kt}

    **例子：**求下面函数X(s)=s+3s2+3s+2X(s)=\frac{s+3}{s^2+3s+2}的拉氏反变换

    X(s)=s+3s2+3s+2=2s+1+−1s+2（部分分式法）∴x(t)=(2e−t−e−2t)1(t)\begin{aligned} X(s)&=\frac{s+3}{s^2+3s+2}\\ &=\color{teal}\frac{2}{s+1}+\frac{-1}{s+2}\qquad \text{（部分分式法）}\\ \therefore x(t)&=(2e^{-t}-e^{-2t})1(t) \end{aligned}

    实根代入法 与 虚根代入法

    参考：李艳萍, 《有理函数分解成部分分式的几种方法》

    实根代入法：适用于分母可以分解为(x−a1)(x−a2)⋯(x−an)(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)的形式，

    P(x)Q(x)=A1x−a1+A2x−a2+…Anx−an⇒A1=(x−a1)P(x)Q(x)∣x=a1其他的都被消了\begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)}&=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\dots\frac{A_n}{x-a_n}\\ \Rightarrow\quad A_1&=(x-a_1)\frac{P(x)}{Q(x)}|_{x=a_1}\qquad \text{其他的都被消了}\\ \end{aligned}

    虚根代入法：适用于含有二次因式的的因式，分母为

    这两种方法结合着使用，一般的问题都可以解决了☺

    例子（部分分式法综合题）：求微分方程 y(3)+3y"+3y′+y=1,y(0)=y′(0)=y"(0)=0y^{(3)}+3y^{"}+3y'+y=1,y(0)=y'(0)=y^{"}(0)=0

Y(s)=1s(s+1)3=b3(s+1)3+b2(s+1)2+b1s+1+c4sb3=[1s(s+1)3(s+1)3]s=−1=−1b2={dds[1s(s+1)3(s+1)3]}s=−1=[dds(1s)]s=−1=(−s−2)∣s=−1=−1b1=12!(2s−3)∣s=−1=−1;c=1s(s+1)3s∣s=0=1Y(s)=1s+−1(s+1)3+−1(s+1)2+−1s+1⇒y=1−12t2e−t−te−t−e−t\begin{aligned} &Y(s)=\frac{1}{s(s+1)^{3}}=\frac{b_{3}}{(s+1)^{3}}+\frac{b_{2}}{(s+1)^{2}}+\frac{b_{1}}{s+1}+\frac{c_{4}}{s} \\ &b_{3}=\left[\frac{1}{s(s+1)^{3}}(s+1)^{3}\right]_{s=-1}=-1 \\ &b_{2}=\left\{\frac{d}{d s}\left[\frac{1}{s(s+1)^{3}}(s+1)^{3}\right]\right\}_{s=-1}=\left[\frac{d}{d s}\left(\frac{1}{s}\right)\right]_{s=-1}=\left.\left(-s^{-2}\right)\right|_{s=-1}=-1 \\ &b_{1}=\left.\frac{1}{2 !}\left(2 s^{-3}\right)\right|_{s=-1}=-1 ; c=\left.\frac{1}{s(s+1)^{3}} s\right|_{s=0}=1 \\ &Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{-1}{(s+1)^{3}}+\frac{-1}{(s+1)^{2}}+\frac{-1}{s+1} \\ &\Rightarrow y=1-\frac{1}{2} t^{2} e^{-t}-t e^{-t}-e^{-t} \end{aligned}

函数 变换
u(t)=1u(t)=1 1/s1/s
e−ae^{-a} 1s+a\frac{1}{s+a}
te−ate^{-a} 1(s+a)2\frac{1}{(s+a)^2}
sin(ωt)sin(\omega t) ωs2+ω2\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
cos(ωt)cos(\omega t) ss2+ω2\frac{s}{s^2+\omega^2}
tnt^n n!sn+1\frac{n!}{s^{n+1}}

传递函数

定义：在零输入输出环境下，线性定常系统输出xo(t)x_o(t)的拉普拉斯变换Xo(s)X_o{(s)}与输入xi(s)x_i{(s)}的拉普拉斯变换Xi(s)X_i{(s)}的之比，记作G(s)G(s)。

G(s)=C(s)R(s)=b0sm+b1sm−1+⋯+bm−1s+bma0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an=N(s)D(s)=b0(s−z1)(s−z2)⋯(s−zm)a0(s−p1)(s−p2)⋯(s−pn)\begin{aligned} G(s) &=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{0} s^{m}+b_{1} s^{m-1}+\cdots+b_{m-1} s+b_{m}}{a_{0} s^{n}+a_{1} s^{n-1}+\cdots+a_{n-1} s+a_{n}} \\ &=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_{0}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \cdots\left(s-z_{m}\right)}{a_{0}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \cdots\left(s-p_{n}\right)} \end{aligned}

传递函数的性质：

  • 分母反映系统本身与外界无关的固有特性。
  • 分子反映系统与外界的关系。
  • TF 与信号无关,只取决于系统的结构和参数,与系统的输入和输出位置有关
  • 仅适用于线性定常系统
  • 分母阶次 n 大于分子阶次 m,n>mm,n > m
  • 分母中 s 的最高阶次 n 即为系统的阶次
  • 不能反映非零初始条件的运动
  • 由相应零极点组成
  • 只反映但输入与单输出的关系,不反映内部(多入多出系统使用TF 矩阵)
  • 特征多项式$ D(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n−1 }+ · · · + a_{n−1} s + a_n$
  • 特征方程 D(s)=0D(s) = 0
  • D(s)=0D(s) = 0 的根称为特征根。

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典型环节的传递函数

具有某种确定信息的传递关系的元件或元件组称为一个环节。经常遇到的环节叫做典型环节。/

  1. 比例环节

    输出正比于输入

  2. 微分环节

    输出是输入的导数，即。其动力学方程为下面一阶微分方程形式：

x0(t)=τdxi(t)dt x_0(t)=\tau\frac{dx_i(t)}{dt}

其传递函数为：

G(s)=X0(s)Xi(s)=τs G(s)=\frac{X_0(s)}{X_i(s)}=\tau s

其中 τ\tau 为微分环节的时间常数。例如机械液压阻尼器(无源微分网络)

  1. 二阶微分环节

  2. 积分环节

    输出正比于输入的累积量。有储存或累积特点的

  3. 惯性环节

    输出函数的导数与输出之和正比与输入。(用于储能设备)。其动力学方程为下面一阶微分方程形式：

Tdx0(t)dt+x0(t)=Kxi(t)T\frac{dx_0(t)}{dt}+x_0(t)=Kx_i(t)

其传递函数为：

G(s)=KTs+1 G(s)=\frac{K}{Ts+1}

例如：弹簧与电容

  1. 振荡环节

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