所谓未来，就是当下的人不会仔细研究的东西。

——秉蕳《恒星冶金学》

本文的目的在于探讨固态相变的速率，简言之就是从一种相转变为另一种相的过程。

此部分的传统理论是Johnson-Nehil方程，但是此公式只适用于理想的缓慢加热、平衡转变过程。而咱家想要研究的恒星冶金学[1]中，加热速度是会变化的，时间、体积的微分不能忽略，此公式难以满足要求，故有本文的发散性探讨。

相变的过程如下：

γ→经过τ时间后初始温度为Tα \gamma \xrightarrow[\text{经过}\tau\text{时间后}]{\text{初始温度为}T} \alpha

思路是先算出单个晶核的半径，进而推导出其体积⭐，再假设新相的数目，得到新相的整体体积🌌。假设晶核的长大速率为G，即dR=GdtdR=Gdt，求导可得：

R=G(T−τ)R=G(T-\tau)

Vs=43πG3(T−τ)3V_s=\frac43 \pi G^3 (T-\tau)^3

接下来设新相晶核的数目为n=I(V−V0)dtn=I(V-V_0)dt，那么新相的总体积就是单个体积✖数目对时间的积分了：

V=∫0t43πG3(T−τ)3I(V−V0)dtV=\int_0^t\frac43 \pi G^3 (T-\tau)^3 I(V-V_0)dt

体积一直在变化，不好计算，我们用总体积V0V_0取代未转变的体积，得到的公称体积为：

Ve=∫0t43πG3(T−τ)3IV0dtV_e=\int_0^t\frac43 \pi G^3 (T-\tau)^3 IV_0dt

再把公称体积于原始体积做商，得到新相公称体积分数Xe=VeV0X_e=\frac{V_e}{V_0}，其表达式为：

Xe=∫0t43πG3(T−τ)3IdtX_e=\int_0^t\frac43 \pi {\color{red}G}^3 (T-\tau)^3 {\color{red}I}dt

这样推到下去，就跟传统的公式无异了。但是咱们的GG(新相长大速率)、II(新相形核率)与时间是有很大关联的，不能忽略，便记作G(t)G(t)、I(t)I(t)，于是得到：

Xe=∫0t43πG(t)3(T−τ)3I(t)dtXe=π3I(t)G(t)3t4\begin{aligned} X_e&=\int_0^t\frac43 \pi {\color{blue}G(t)}^3 (T-\tau)^3 {\color{blue}I(t)}dt\\ X_e&=\frac\pi3{\color{blue}I(t)}{\color{blue}G(t)}^3t^4 \end{aligned}

再根据公称晶核数目的比值可以得到：

nne=VV0=XXedndne=dVdV0=dXdXe∵dndne=V0−VV0=1−VV0∴XXe=1−X\begin{aligned} \frac{n}{n_e}&=\frac{V}{V_0}= \frac{X}{X_e}\\ \frac{dn}{dn_e}&=\frac{dV}{dV_0}= \frac{dX}{dX_e}\\ \because \frac{dn}{dn_e}&=\frac{V_0-V}{V0}=1-\frac{V}{V_0}\\ \therefore \color{blue}\frac{X}{X_e}&={\color{blue}1-X}\\ \end{aligned}

再解这个贼简单的微分方程即可得(令C=-1)：

X=1−e−XeX=1-e^{-X_e}

最后把XeX_e代进去，就可以得到最终的体积分数表达式了：

x=1−e−π3I(t)G(t)3t4\color{teal}\mathbb{x=1-e^{-\frac\pi3{\color{blue}I(t)}{\color{blue}G(t)}^3t^4}}

此公式只是整个计算的一小部分。今天先写到这里，下一步是求I(t)G(t){\color{blue}I(t)}{\color{blue}G(t)}的表达式。

此外还有个Avrami(日本人？)得到的经验公式，其适用性竟远比理论推导的公式强，应用更为广泛，这莫不是工科的悲哀：

X=1−e−KtnX=1-e^{-\frac{K}{t^n}}

式子中的系数K与n皆为经验值，科学家死命做实验整出来的！

  1. 利用小行星作为原料、恒星作为热源，在宇宙空间中进行热处理的一种冶金工艺。核心是轨道与加热冷却速度的变化，本文讨论的是自由吸引时，随着金属与热源的距离接近，加热速度会发生变化，其相变过程与前人研究的有所不同，故讨论之。 ↩︎